无缝线性回归与预测模型

王苗苗, 李博峰     

同济大学测绘与地理信息学院, 上海 200092

收稿日期：2016-06-14； 修回日期：2016-09-06

基金项目：国家自然科学基金（41374031；41574023）；测绘地理信息公益性行业科研专项（HY14122136）

第一作者简介： 王苗苗(1989-),女,博士生,研究方向为GNSS数据处理和理论应用。E-mail:

通信作者： 李博峰

摘要：建立回归模型常采用最小二乘方法并忽略自变量观测误差。尽管同时顾及自变量和因变量观测误差的总体最小二乘方法近年来得到了广泛研究，但在模型预测时，依然忽略了待预测自变量的观测误差。对此，本文提出了一种严格考虑所有变量观测误差的无缝线性回归和预测模型，该模型将回归模型的建立和因变量预测联合处理，在建立回归模型过程中对待预测自变量的观测误差进行估计并修正，从而提高了模型预测效果。理论证明，现有的几种线性回归模型都是无缝线性回归和预测模型的特例。试验结果表明，无缝线性回归和预测模型的预测效果优于现有的几种模型，尤其在变量观测误差相关性较大时，无缝模型对预测效果的改善更为显著。

关键词： 无缝线性回归模型     模型预测     误差估计     误差相关性    

Seamless Linear Regression and Prediction Model

WANG Miaomiao, LI Bofeng     

Abstract: The regression model was traditionally established by using the least squares (LS) method where the errors of independent variables were ignored. Although the weighted total least squares (TLS) method that captures errors of both dependent and independent variables was extensively studied for regression analysis in recent years, it still neglects the errors of independent variables when predicting the corresponding dependent variables.This paper puts forward a seamless linear regression and prediction model which estimates regression parameters and predicts dependent variables simultaneously by considering the errors of all variables.In the seamless model, the errors of independent variables in the prediction model are predicted and corrected to improve the prediction accuracy.The several existing regression models are theoretically proved to be the special cases of the proposed seamless model. The experimental results show that the proposed seamless model outperforms the other existing models in the sense of prediction accuracy, especially when the error correlation of variables is significant.

Key words: seamless linear regression model     model prediction     observation error estimation     error correlation    

变量间的关系包括确定性的函数关系与非确定性的相关关系^[]。回归分析是处理随机变量间相关关系的数学工具，目的是根据自变量和因变量以及关于变量的一些合理假设建立变量间的统计关系，即(线性或者非线性的)函数模型^[-]。由于变量间的非线性关系往往可以通过变量变换等转化为线性关系，因此线性回归模型是回归分析中最常用的模型。

建立回归模型的最终目的是进行自变量的控制或因变量的预测。通常，先通过回归分析建立回归模型，然后根据回归模型控制自变量或者预测因变量，因此回归分析是模型应用的基础。传统的回归分析认为只有因变量含有观测误差(下文中都指随机误差)，采用最小二乘求解回归系数。然而，实际应用中的自变量和因变量都来源于观测，不可避免地都含有观测误差，如果回归分析时忽略自变量的观测误差，则会影响求解的回归系数。对此，同时顾及自变量和因变量观测误差的(加权)整体最小二乘理论及其方法近年来得到了广泛的研究与应用^[-]，文献^[-]在回归分析时还进一步考虑了自变量和因变量观测误差间的相关性并获得了合理的回归系数。

尽管采用同时顾及自变量和因变量观测误差及其相关性的回归分析方法能建立合理的回归模型，但采用该模型预测因变量时，现有方法依然忽略了待预测自变量的观测误差，从而影响了模型因变量的预测效果。为此，本文提出无缝线性回归和预测模型，该模型将回归系数解算与因变量预测联合处理，除了考虑解算回归系数时的自变量和因变量观测误差及其相关性，还严格考虑待预测自变量的观测误差。无缝线性回归和预测模型的本质是在求解回归系数的同时估计变量的观测误差；再根据变量观测误差间的相关性对待预测自变量的观测误差进行估计并改正，进而提高模型因变量的预测效果。

（篇幅限制，第一部分无缝线性回归和预测模型、第二部分试验与分析请点击原文阅读）

【引文格式】王苗苗，李博峰。 无缝线性回归与预测模型[J]. 测绘学报，2016，45(12)：1396-1405. DOI: 10.11947/j.AGCS.2016.20160263

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